onde o Grau de f(x) é menor do que o Grau de g(x)

Uma função racional é uma função f da forma p/q, onde p(x) e q(x) são polinômios.

Para uma função racional tal como , o domínio da função e a assíntota vertical podem ser determinados pela fatoração do denominador, colocando cada fator igual à 0, e solucionando cada equação resultante.  Observe como podemos fazer esse processo.

Quais são os zeros do denominador?
    -  x = 3 e x = - 2

Quais valores de "x" devem ser excluidos do domínio?
    -  3 e  - 2

Descreva o domínio da função f.
    -  

Preveja as equações das assíntotas vertical.
    -  x = 3 e x =  - 2

Examine o gráfico da função abaixo.

Compare a posição prevista da assíntota vertical com a posição da assíntota vertical indicada pelo gráfico acima.
    -  Elas são as mesmas

Identifique todas as Assíntotas verticais para essa função racional.
    -  x =  - 2 e x = 3

Baseado no gráfico, descreva o que acontece ao valor de y quanto:

a)  x  se torna muito grande (aumenta sem limites).
    O valor de y aproxima - se de 0 enquanto x se torna muito grande.

b) x se torna muito pequeno (decresce sem limite).
    O valor de y aproxima - se de 0 enquanto x se torna muito pequena.

Existe qualquer valor de y o qual o gráfico aproxima? Se existe, determine este valor e expresse como uma equação.
    -  y = 0
 

Analisando Gráficos de Funções Racionais da Forma  onde o grau de f(x) é igual o grau de g(x)

Examine o gráfico da função racional y ₁.

Baseado no gráfico de y ₁, determine a equação da assíntota horizontal .
    -  y = 3

Note que apenas um dos três fatores não contém  o termo complexo.

Preveja o número da assíntota vertical  e justifique sua previsão.
    -  Irá existir uma assíntota vertical desde que exista um valor real que pode levar o denominador a ser igual a 0.

Compare o número da assíntota vertical indicada pelo gráfico com a sua previsão.

Ambos, o gráfico e a previsão baseada na forma fatorada da equação sugerida possuem uma assíntota vertical.

Escreva a equação (s) de qualquer assíntota  (s) vertical .
    -  x = - 1

Considere o gráfico de y ₂.

Olhando o gráfico, determine a equação de qualquer assíntota horizontal.
    -  y = 2

A equação (s) de qualquer assíntota vertical pode ser obtida fatorando e/ou construindo o gráfico.

Determine as equações das assíntotas verticais.
    -    x =  - 1 e x = 1

Considere a razão formada usando o coeficiente da variável de maior potência no numerador e o coeficiente da variável de maior potência no denominador, conforme os cálculos abaixo  .

Como esse gráfico da reta compara-se com a determinação clássica da assíntota horizontal ?

    -  O gráfico reta está na mesma posição da assíntota horizontal.

Formule uma conjectura com relação a posição da assíntota horizontal para funções racionais cuja potência do numerador e do denominador são iguais.

Conjectura: Uma assíntota horizontal para uma função racional cujo potência do numerador é igual a potência do denominador está posicionada em y = a razão  formada usando o coeficiente da variável de maior potência no numerador e o coeficiente da variável de maior potência no denominador.

Analisando Gráficos com Assíntotas Oblíquas

Considere o gráfico de y ₅ 

Determine as equacões de todas as assíntotas verticais.
    -  x = 1
 

Discuta o que você observa do gráfico sobre assíntota horizontal e oblíqua.
    -  Não existe assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua.

Qual é a relação existente entre o grau do numerador e o grau do denominador?
    O grau do numerador é uma unidade a mais do que o grau do denominador.

Examine abaixo como a equação da assíntota oblíqua é determinada algebricamente usando o MathView.

Quando o valor de x aumenta sem limite, o termo envolvendo "x - 1" aproxima - se de zero, restando
y = 16x + 12 que é a equação da assíntota oblíqua.

Adicionando a equação da assíntota oblíqua ao gráfico da função racional produzimos o seguinte gráfico.

Aprofundando seus Conhecimentos

Considere uma função racional com uma assíntota horizontal de y = - 2 e vertical de x = -5 e x = 2.

Determine uma equação satisfazendo estas Condições.
    NOTA:  As respostas irão variar.

Construa o gráfico da função racional e de sua  assíntota horizontal.

Uma  função racional tem uma assíntota vertical de x = - 3 e uma assíntota oblíqua  de y = 4x - 2

Determine uma equação satisfazendo estas Condições.
    NOTA: As respostas irão variar.

Construa o gráfico da função e sua  assíntota oblíqua.

Explique onde uma função racional pode ter ambos:  uma assíntota horizontal e uma assíntota oblíqua .
    -  Uma função racional não pode ter simultaneamente uma assíntota horizontal e uma assíntota oblíqua já que uma  assíntota horizontal ocorre quando o numerador e denominador tem potências iguais, e uma assíntota oblíqua ocorre quando a potência do numerador é maior do que  a potência do denominador